Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeet2 35653
 Description: Reverse isomorphism H of a closed subspace intersection. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeet2.m = (meet‘𝐾)
dihmeet2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeet2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeet2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihmeet2.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihmeet2.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dihmeet2 (𝜑 → (𝐼‘(𝑋𝑌)) = ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem dihmeet2
StepHypRef Expression
1 dihmeet2.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihmeet2.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
3 dihmeet2.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dihmeet2.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
53, 4dihcnvid2 35580 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
61, 2, 5syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
7 dihmeet2.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
83, 4dihcnvid2 35580 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
91, 7, 8syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
106, 9ineq12d 3777 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))) = (𝑋𝑌))
11 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1211, 3, 4dihcnvcl 35578 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
131, 2, 12syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1411, 3, 4dihcnvcl 35578 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
151, 7, 14syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 dihmeet2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
1711, 16, 3, 4dihmeet 35650 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
181, 13, 15, 17syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
193, 4dihmeetcl 35652 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋𝑌) ∈ ran 𝐼)
201, 2, 7, 19syl12anc 1316 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ran 𝐼)
213, 4dihcnvid2 35580 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑌) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼‘(𝑋𝑌))) = (𝑋𝑌))
221, 20, 21syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼‘(𝑋𝑌))) = (𝑋𝑌))
2310, 18, 223eqtr4rd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼‘(𝑋𝑌))) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))
2411, 3, 4dihcnvcl 35578 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑌) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝑋𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
251, 20, 24syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝑋𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
261simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
27 hllat 33668 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
2911, 16latmcl 16875 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
3028, 13, 15, 29syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
3111, 3, 4dih11 35572 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼‘(𝑋𝑌)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(𝐼‘(𝑋𝑌))) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) ↔ (𝐼‘(𝑋𝑌)) = ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))
321, 25, 30, 31syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐼‘(𝑋𝑌))) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) ↔ (𝐼‘(𝑋𝑌)) = ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))
3323, 32mpbid 221 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑋𝑌)) = ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ◡ccnv 5037  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  meetcmee 16768  Latclat 16868  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DIsoHcdih 35535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536 This theorem is referenced by:  dihoml4c  35683
 Copyright terms: Public domain W3C validator