Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem3N 35602
 Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣,   𝑥,   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
3 simp11l 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 33668 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp12l 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑆𝐵)
7 simp3 1056 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
86, 7sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝐵)
9 simp11r 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐻)
10 dihglblem.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 dihglblem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
1210, 11lhpbase 34302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐵)
14 dihglblem.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
15 dihglblem.m . . . . . . . . . . . 12 = (meet‘𝐾)
1610, 14, 15latmle2 16900 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣𝐵𝑊𝐵) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
175, 8, 13, 16syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
18173expia 1259 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑣 𝑊) 𝑊))
19 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑊) → (𝑢 𝑊 ↔ (𝑣 𝑊) 𝑊))
2019biimprcd 239 . . . . . . . . 9 ((𝑣 𝑊) 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2118, 20syl6 34 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊)))
2221rexlimdv 3012 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2322ss2rabdv 3646 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
242, 23syl5eqss 3612 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
25 dihglblem.i . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
2610, 14, 11, 25dibdmN 35464 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
27263ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
2824, 27sseqtr4d 3605 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
29 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
3010, 14, 15, 29, 11, 2dihglblem2aN 35600 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
31303adant3 1074 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
3229, 11, 25dibglbN 35473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
331, 28, 31, 32syl12anc 1316 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
3410, 14, 15, 29, 11, 2dihglblem2N 35601 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
35343adant2r 1313 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
3635fveq2d 6107 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑇)))
37 simpl1 1057 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3824sselda 3568 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
39 breq1 4586 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑊𝑥 𝑊))
4039elrab 3331 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊} ↔ (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
4138, 40sylib 207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
42 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4310, 14, 11, 42, 25dihvalb 35544 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4437, 41, 43syl2anc 691 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4544iineq2dv 4479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
4633, 36, 453eqtr4rd 2655 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
47 simp1l 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
48 hlclat 33663 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4947, 48syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
50 simp2l 1080 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
5110, 29clatglbcl 16937 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
5249, 50, 51syl2anc 691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
53 simp3 1056 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊)
5410, 14, 11, 42, 25dihvalb 35544 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
551, 52, 53, 54syl12anc 1316 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
5635fveq2d 6107 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐼‘(𝐺𝑇)))
5746, 55, 563eqtr2rd 2651 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∩ ciin 4456   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  glbcglb 16766  meetcmee 16768  Latclat 16868  CLatccla 16930  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DIsoBcdib 35445  DIsoHcdih 35535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-disoa 35336  df-dib 35446  df-dih 35536 This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  35603
 Copyright terms: Public domain W3C validator