Theorem difsnexi 6864

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
difsnexi	⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Proof of Theorem difsnexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V)
2		snex 4835	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
3		unexg 6857	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ {𝐾} ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 693	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
5		difsnid 4282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
7	6	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
9	4, 8	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
10	9	ex 449	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
11		difsn 4269	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝑁)
12	11	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ↔ 𝑁 ∈ V))
13	12	biimpd 218	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
14	10, 13	pm2.61i 175	1 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  {csn 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-sn 4126  df-pr 4128  df-uni 4373

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  17719  pmtrdifellem2  17720  tgdif0  20607