Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diatrl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diatrl 35351
 Description: Trace of a member of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
diatrl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
diatrl.l = (le‘𝐾)
diatrl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diatrl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diatrl (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑅𝐹) 𝑋)

Proof of Theorem diatrl
StepHypRef Expression
1 diatrl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 diatrl.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 diatrl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 diatrl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 diatrl.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6 diatrl.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6diaelval 35340 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼𝑋) ↔ (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑋)))
8 simpr 476 . . 3 ((𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑋) → (𝑅𝐹) 𝑋)
97, 8syl6bi 242 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼𝑋) → (𝑅𝐹) 𝑋))
1093impia 1253 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑅𝐹) 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463  DIsoAcdia 35335 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-disoa 35336 This theorem is referenced by:  dialss  35353  dibelval1st2N  35458  diblss  35477
 Copyright terms: Public domain W3C validator