Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfle2 11856
 Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfle2 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lerel 9981 . 2 Rel ≤
2 ltrelxr 9978 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3 f1oi 6086 . . . . 5 ( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ*
4 f1of 6050 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ* → ( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ*)
5 fssxp 5973 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ* → ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
72, 6unssi 3750 . . 3 ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8 relxp 5150 . . 3 Rel (ℝ* × ℝ*)
9 relss 5129 . . 3 (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
107, 8, 9mp2 9 . 2 Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
11 lerelxr 9980 . . . 4 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1211brel 5090 . . 3 (𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
137brel 5090 . . 3 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
14 xrleloe 11853 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
15 resieq 5327 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦𝑥 = 𝑦))
1615orbi2d 734 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
1714, 16bitr4d 270 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
18 brun 4633 . . . 4 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
1917, 18syl6bbr 277 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
2012, 13, 19pm5.21nii 367 . 2 (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
211, 10, 20eqbrriv 5138 1 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   I cid 4948   × cxp 5036   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator