Theorem dff14b 6428

Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dff14b	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff14a 6427	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))
2		necom 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑥)
3	2	imbi1i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑦 ≠ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
4	3	ralbii 2963	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 ≠ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
5		raldifsnb 4266	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 ≠ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
6	4, 5	bitri 263	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
7	6	ralbii 2963	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
8	7	anbi2i 726	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
9	1, 8	bitri 263	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  f12dfv  6429  f13dfv  6430