Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfconngra1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfconngra1 26199
 Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
dfconngra1 ConnGrph = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝}
Distinct variable group:   𝑒,𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝑣

Proof of Theorem dfconngra1
StepHypRef Expression
1 df-conngra 26198 . 2 ConnGrph = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ ∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝}
2 difsnid 4282 . . . . . . . 8 (𝑘𝑣 → ((𝑣 ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}) = 𝑣)
32eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝑘𝑣𝑣 = ((𝑣 ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}))
43raleqdv 3121 . . . . . 6 (𝑘𝑣 → (∀𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((𝑣 ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝))
5 ralunb 3756 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ((𝑣 ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝))
64, 5syl6bb 275 . . . . 5 (𝑘𝑣 → (∀𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝)))
7 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
8 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
9 0pthonv 26111 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑘𝑣 → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑘)𝑝))
107, 8, 9mp2an 704 . . . . . . 7 (𝑘𝑣 → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑘)𝑝)
11 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛) = (𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑘))
1211breqd 4594 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑘)𝑝))
13122exbidv 1839 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑘)𝑝))
1413ralsng 4165 . . . . . . 7 (𝑘𝑣 → (∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑘)𝑝))
1510, 14mpbird 246 . . . . . 6 (𝑘𝑣 → ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝)
1615biantrud 527 . . . . 5 (𝑘𝑣 → (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝)))
176, 16bitr4d 270 . . . 4 (𝑘𝑣 → (∀𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝))
1817ralbiia 2962 . . 3 (∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝)
1918opabbii 4649 . 2 {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ ∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝} = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝}
201, 19eqtri 2632 1 ConnGrph = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(𝑣 PathOn 𝑒)𝑛)𝑝}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  {csn 4125   class class class wbr 4583  {copab 4642  (class class class)co 6549   PathOn cpthon 26032   ConnGrph cconngra 26197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-wlkon 26042  df-pthon 26044  df-conngra 26198 This theorem is referenced by:  isconngra1  26201
 Copyright terms: Public domain W3C validator