Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfceil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfceil2 12502
 Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dfceil2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ceil 12456 . 2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2 zre 11258 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3 lenegcon2 10412 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧𝑧 ≤ -𝑥))
4 peano2re 10088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
54anim2i 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
65ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7 ltnegcon1 10408 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
9 recn 9905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
119, 10negdid 10284 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1312breq1d 4593 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
14 renegcl 10223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
16 neg1rr 11002 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
18 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1915, 17, 18ltaddsubd 10506 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
20 recn 9905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
21 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
2220, 21subnegd 10278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2423breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
2519, 24bitrd 267 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
268, 13, 253bitrd 293 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
273, 26anbi12d 743 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
282, 27sylan2 490 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2928riotabidva 6527 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3029negeqd 10154 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
31 zbtwnre 11662 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
32 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ -𝑧))
33 breq1 4586 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
3432, 33anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3534zriotaneg 11367 . . . . 5 (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3631, 35syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
37 flval 12457 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3814, 37syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3938negeqd 10154 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
4030, 36, 393eqtr4rd 2655 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
4140mpteq2ia 4668 . 2 (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
421, 41eqtri 2632 1 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃!wreu 2898   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453  ⌈cceil 12454 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455  df-ceil 12456 This theorem is referenced by:  ceilval2  12503
 Copyright terms: Public domain W3C validator