Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac13 8847
 Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 acacni 8845 . . . . 5 ((CHOICE𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
31, 2mpan2 703 . . . 4 (CHOICEAC 𝑥 = V)
41, 3syl5eleqr 2695 . . 3 (CHOICE𝑥AC 𝑥)
54alrimiv 1842 . 2 (CHOICE → ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
6 vpwex 4775 . . . . . . . 8 𝒫 𝑧 ∈ V
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧𝑥 = 𝒫 𝑧)
8 acneq 8749 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
97, 8eleq12d 2682 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧))
106, 9spcv 3272 . . . . . . 7 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧)
11 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
12 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
1312canth2 7998 . . . . . . . . . 10 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14 sdomdom 7869 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15 acndom2 8760 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧)
17 acnnum 8758 . . . . . . . . 9 (𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
1816, 17sylib 207 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
19 numacn 8755 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧AC 𝑦))
2011, 18, 19mpsyl 66 . . . . . . 7 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝑦)
2110, 20syl 17 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧AC 𝑦)
2212a1i 11 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧 ∈ V)
2321, 222thd 254 . . . . 5 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → (𝑧AC 𝑦𝑧 ∈ V))
2423eqrdv 2608 . . . 4 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥AC 𝑦 = V)
2524alrimiv 1842 . . 3 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26 dfacacn 8846 . . 3 (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
2725, 26sylibr 223 . 2 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥CHOICE)
285, 27impbii 198 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  cardccrd 8644  AC wacn 8647  CHOICEwac 8821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator