Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1lt0 23655
 Description: A polynomial is zero iff it has negative degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1lt0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))

Proof of Theorem deg1lt0
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1z.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1z.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
4 deg1nn0cl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4deg1nn0cl 23652 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
6 nn0nlt0 11196 . . . . 5 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝐷𝐹) < 0)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ¬ (𝐷𝐹) < 0)
873expia 1259 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 → ¬ (𝐷𝐹) < 0))
98necon4ad 2801 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 → 𝐹 = 0 ))
101, 2, 3deg1z 23651 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
11 mnflt0 11835 . . . . 5 -∞ < 0
1210, 11syl6eqbr 4622 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) < 0)
1312adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐷0 ) < 0)
14 fveq2 6103 . . . 4 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
1514breq1d 4593 . . 3 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ (𝐷0 ) < 0))
1613, 15syl5ibrcom 236 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) < 0))
179, 16impbid 201 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  -∞cmnf 9951   < clt 9953  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368   deg1 cdg1 23618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620 This theorem is referenced by:  hbtlem5  36717
 Copyright terms: Public domain W3C validator