Theorem deg1ldg 23656

Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 23644	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19386	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8		deg1ldg.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19376	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 23625	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	3, 4, 11	ply1mpl0 19446	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
13	2, 3, 7, 8, 9, 10, 12	mdegldg 23630	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)))
14		deg1ldg.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
15	14	fvcoe1 19398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16	15	3ad2antl2 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))
19		fvex 6113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏‘∅) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
21	20	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
23	16, 22	eqtr4d 2647	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
24	23	neeq1d 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
25	24	anbi1d 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹))))
26		ancom 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
27	25, 26	syl6bb 275	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
28	27	rexbidva 3031	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
29		df1o2 7459	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 = {∅}
30		nn0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
31		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
32	29, 30, 31, 18	mapsnf1o2 7791	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
33		f1ofo 6057	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
34		eqeq1 2614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷‘𝐹)))
35		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘𝑑))
36	35	neeq1d 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
37	34, 36	anbi12d 743	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
38	37	cbvexfo 6445	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
39	32, 33, 38	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
40	28, 39	syl6bb 275	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
41	1, 4, 11, 6	deg1nn0cl 23652	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
42		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝑑) = (𝐴‘(𝐷‘𝐹)))
43	42	neeq1d 2841	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → ((𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
44	43	ceqsrexv 3306	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
46	40, 45	bitrd 267	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
47	13, 46	mpbid 221	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Ringcrg 18370   mPoly cmpl 19174  PwSer₁cps1 19366  Poly₁cpl1 19368  coe₁cco1 19369   deg₁ cdg1 23618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620

This theorem is referenced by:  deg1ldgn  23657  deg1ldgdomn  23658  deg1add  23667  deg1mul2  23678  drnguc1p  23734