MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldg 23656
Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 23644 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3 eqid 2610 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2610 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19386 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8 deg1ldg.y . . 3 𝑌 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19376 . . 3 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 23625 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
123, 4, 11ply1mpl0 19446 . . 3 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
132, 3, 7, 8, 9, 10, 12mdegldg 23630 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)))
14 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (coe1𝐹)
1514fvcoe1 19398 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16153ad2antl2 1217 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))
19 fvex 6113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏‘∅) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
2120fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2316, 22eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
2423neeq1d 2841 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2524anbi1d 737 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹))))
26 ancom 465 . . . . . 6 (((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2725, 26syl6bb 275 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
2827rexbidva 3031 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
29 df1o2 7459 . . . . . 6 1𝑜 = {∅}
30 nn0ex 11175 . . . . . 6 0 ∈ V
31 0ex 4718 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3229, 30, 31, 18mapsnf1o2 7791 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
33 f1ofo 6057 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
34 eqeq1 2614 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷𝐹)))
35 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴𝑑))
3635neeq1d 2841 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3734, 36anbi12d 743 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3837cbvexfo 6445 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3932, 33, 38mp2b 10 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
4028, 39syl6bb 275 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
411, 4, 11, 6deg1nn0cl 23652 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
42 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐹) → (𝐴𝑑) = (𝐴‘(𝐷𝐹)))
4342neeq1d 2841 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐹) → ((𝐴𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4443ceqsrexv 3306 . . . 4 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4541, 44syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4640, 45bitrd 267 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4713, 46mpbid 221 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  c0 3874  cmpt 4643  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  𝑚 cmap 7744  0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370   mPoly cmpl 19174  PwSer1cps1 19366  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   deg1 cdg1 23618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620
This theorem is referenced by:  deg1ldgn  23657  deg1ldgdomn  23658  deg1add  23667  deg1mul2  23678  drnguc1p  23734
  Copyright terms: Public domain W3C validator