MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1add 23667
Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p + = (+g𝑌)
deg1addle.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1addle.g (𝜑𝐺𝐵)
deg1add.l (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
Assertion
Ref Expression
deg1add (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹))

Proof of Theorem deg1add
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . . 4 𝑌 = (Poly1𝑅)
2 deg1addle.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1addle.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1addle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 deg1addle.p . . . 4 + = (+g𝑌)
6 deg1addle.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 deg1addle.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7deg1addle 23665 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
9 deg1add.l . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
102, 1, 4deg1xrcl 23646 . . . . . . 7 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
117, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
122, 1, 4deg1xrcl 23646 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
136, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
14 xrltnle 9984 . . . . . 6 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐺) < (𝐷𝐹) ↔ ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺)))
1511, 13, 14syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝐺) < (𝐷𝐹) ↔ ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺)))
169, 15mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺))
1716iffalsed 4047 . . 3 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
188, 17breqtrd 4609 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷𝐹))
191ply1ring 19439 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
203, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
214, 5ringacl 18401 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
2220, 6, 7, 21syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
23 nltmnf 11839 . . . . . 6 ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷𝐺) < -∞)
2411, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐷𝐺) < -∞)
259adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
26 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (0g𝑌) → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(0g𝑌)))
27 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑌) = (0g𝑌)
282, 1, 27deg1z 23651 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g𝑌)) = -∞)
293, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(0g𝑌)) = -∞)
3026, 29sylan9eqr 2666 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐹) = -∞)
3125, 30breqtrd 4609 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐺) < -∞)
3231ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 = (0g𝑌) → (𝐷𝐺) < -∞))
3332necon3bd 2796 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝐷𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g𝑌)))
3424, 33mpd 15 . . . 4 (𝜑𝐹 ≠ (0g𝑌))
352, 1, 27, 4deg1nn0cl 23652 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑌)) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
363, 6, 34, 35syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
37 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
381, 4, 5, 37coe1addfv 19456 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))))
393, 6, 7, 36, 38syl31anc 1321 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))))
40 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41 eqid 2610 . . . . . . . 8 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
422, 1, 4, 40, 41deg1lt 23661 . . . . . . 7 ((𝐺𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹)) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹)) = (0g𝑅))
437, 36, 9, 42syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹)) = (0g𝑅))
4443oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)))
45 ringgrp 18375 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
463, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
47 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
48 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4947, 4, 1, 48coe1f 19402 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
506, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
5150, 36ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 37, 40grprid 17276 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
5346, 51, 52syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
5439, 44, 533eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
552, 1, 27, 4, 40, 47deg1ldg 23656 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑌)) → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
563, 6, 34, 55syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
5754, 56eqnetrd 2849 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
58 eqid 2610 . . . 4 (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
592, 1, 4, 40, 58deg1ge 23662 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
6022, 36, 57, 59syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
612, 1, 4deg1xrcl 23646 . . . 4 ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
6222, 61syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
63 xrletri3 11861 . . 3 (((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹) ↔ ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷𝐹) ∧ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))))
6462, 13, 63syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹) ↔ ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷𝐹) ∧ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))))
6518, 60, 64mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  ifcif 4036   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   deg1 cdg1 23618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620
This theorem is referenced by:  deg1sub  23672
  Copyright terms: Public domain W3C validator