Theorem dalemcceb 33993

Description: Lemma for dath 34040. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
da.ps0	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
da.a1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalemcceb	⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Proof of Theorem dalemcceb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		da.ps0	. . 3 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
2	1	dalemccea 33987	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		da.a1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 33594	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Atomscatm 33568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ats 33572

This theorem is referenced by:  dalem21  33998  dalem25  34002  dalem38  34014  dalem39  34015  dalem44  34020  dalem45  34021  dalem48  34024  dalem52  34028