Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem23 34000
Description: Lemma for dath 34040. Show that auxiliary atom 𝐺 is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem23.m = (meet‘𝐾)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem23 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)

Proof of Theorem dalem23
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . 2 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
2 dalem.ph . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
32dalemkehl 33927 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ HL)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
5 dalem.ps . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
65dalemccea 33987 . . . . . . 7 (𝜓𝑐𝐴)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝐴)
82dalempea 33930 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝐴)
105dalemddea 33988 . . . . . . 7 (𝜓𝑑𝐴)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑑𝐴)
122dalemsea 33933 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑆𝐴)
14 dalem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
15 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1614, 15hlatj4 33678 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑑𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
174, 7, 9, 11, 13, 16syl122anc 1327 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
18173adant2 1073 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
19 dalem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
20 dalem23.o . . . . 5 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
21 dalem23.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
22 dalem23.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
232, 19, 14, 15, 5, 20, 21, 22dalem22 33999 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)
2418, 23eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂)
2533ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
262, 19, 14, 15, 20, 21dalemply 33958 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 𝑌)
275dalem-ccly 33989 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
28 nbrne2 4603 . . . . . . . 8 ((𝑃 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 𝑌) → 𝑃𝑐)
2926, 27, 28syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝑐)
3029necomd 2837 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝑃)
31 eqid 2610 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
3214, 15, 31llni2 33816 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑐𝑃) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
334, 7, 9, 30, 32syl31anc 1321 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
34333adant2 1073 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
35103ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝐴)
36123ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝐴)
372, 19, 14, 15, 22dalemsly 33959 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → 𝑆 𝑌)
38373adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆 𝑌)
395dalem-ddly 33990 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑑 𝑌)
40393ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ¬ 𝑑 𝑌)
41 nbrne2 4603 . . . . . . 7 ((𝑆 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 𝑌) → 𝑆𝑑)
4238, 40, 41syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝑑)
4342necomd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝑆)
4414, 15, 31llni2 33816 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑑𝑆) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
4525, 35, 36, 43, 44syl31anc 1321 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
46 dalem23.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
4714, 46, 15, 31, 202llnmj 33864 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4825, 34, 45, 47syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4924, 48mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴)
501, 49syl5eqel 2692 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LPlanesclpl 33796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803
This theorem is referenced by:  dalem24  34001  dalem27  34003  dalem28  34004  dalem29  34005  dalem38  34014  dalem39  34015  dalem41  34017  dalem42  34018  dalem43  34019  dalem44  34020  dalem45  34021  dalem51  34027  dalem52  34028  dalem54  34030  dalem55  34031  dalem57  34033  dalem58  34034  dalem59  34035
  Copyright terms: Public domain W3C validator