Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiveqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsdiveqd 22743
 Description: An equality involving ratios in a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t · = ( ·𝑠𝑊)
cvsdiveqd.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a (𝜑𝐴𝐾)
cvsdiveqd.b (𝜑𝐵𝐾)
cvsdiveqd.x (𝜑𝑋𝑉)
cvsdiveqd.y (𝜑𝑌𝑉)
cvsdiveqd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
cvsdiveqd.2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
cvsdiveqd.3 (𝜑𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cvsdiveqd (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem cvsdiveqd
StepHypRef Expression
1 cvsdiveqd.3 . . 3 (𝜑𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))
21oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
43cvsclm 22734 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
75, 6clmsscn 22687 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
9 cvsdiveqd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐾)
108, 9sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 cvsdiveqd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐾)
128, 11sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 cvsdiveqd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ 0)
14 cvsdiveqd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1510, 12, 13, 14divcan6d 10699 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) = 1)
1615oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
175, 6cvsdivcl 22741 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐵𝐾𝐴𝐾𝐴 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
183, 9, 11, 14, 17syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
195, 6cvsdivcl 22741 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
203, 11, 9, 13, 19syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
21 cvsdiveqd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
22 cvsdiveqd.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
23 cvsdiveqd.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
2422, 5, 23, 6clmvsass 22697 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾𝑌𝑉)) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
254, 18, 20, 21, 24syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
2622, 23clmvs1 22701 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑌𝑉) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
274, 21, 26syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
2816, 25, 273eqtr3d 2652 . 2 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)) = 𝑌)
292, 28eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  ℂModcclm 22670  ℂVecccvs 22731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-cnfld 19568  df-clm 22671  df-cvs 22732 This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  25565
 Copyright terms: Public domain W3C validator