Theorem cvrval4N 33718

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrval4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval4.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   < ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrval4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrval4.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrval4.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 33575	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
5		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		cvrval4.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cvrval4.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 5, 6, 3, 7	cvrval3 33717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
9		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
10	9	reximi 2994	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
11	8, 10	syl6bi 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
12	11	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
13	4, 12	jca 553	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
14	13	ex 449	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
15		simp1r 1079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
16		simp3 1056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
17	15, 16	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝))
18		simp1l1 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21	1, 5, 6, 3, 7	cvr1 33714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
23	1, 2, 6, 3, 7	cvr2N 33715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
24	18, 19, 20, 23	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
25	22, 24	bitr4d 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
26	17, 25	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
27	26, 16	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
28	27	3exp 1256	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))))
29	28	reximdvai 2998	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
30	29	expimpd 627	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
31	30, 8	sylibrd 248	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
32	14, 31	impbid 201	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  ltcplt 16764  joincjn 16767   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656

This theorem is referenced by: (None)