Theorem cvrlt 33575

Description: The covers relation implies the less-than relation. (cvpss 28528 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrlt	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem cvrlt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrfval.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrfval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 33574	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5	4	simprbda 651	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  ltcplt 16764   ⋖ ccvr 33567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-covers 33571

This theorem is referenced by:  ncvr1  33577  cvrletrN  33578  cvrnbtwn2  33580  cvrnbtwn3  33581  cvrle  33583  cvrnle  33585  cvrne  33586  0ltat  33596  atlen0  33615  atcvreq0  33619  cvlcvr1  33644  cvrval3  33717  cvrval4N  33718  cvrexchlem  33723  ltcvrntr  33728  cvrntr  33729  cvrat2  33733  atltcvr  33739  1cvratex  33777  ps-2  33782  llnnleat  33817  lplnnle2at  33845  lvolnle3at  33886  lhp0lt  34307