Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrle 33583
Description: The covers relation implies the less-than-or-equal relation. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l = (le‘𝐾)
cvrle.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrle (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 𝑌)

Proof of Theorem cvrle
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrle.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 33575 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 cvrle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
65, 2pltval 16783 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
76simprbda 651 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → 𝑋 𝑌)
84, 7syldan 486 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  ltcplt 16764  ccvr 33567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-plt 16781  df-covers 33571
This theorem is referenced by:  cvrnbtwn4  33584  cvrcmp  33588  atcvrj2b  33736  atexchcvrN  33744  llncmp  33826  llncvrlpln  33862  lplncmp  33866  lplncvrlvol  33920  lvolcmp  33921
  Copyright terms: Public domain W3C validator