Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem8 30562
 Description: Lemma for cvmlift2 30552. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SCon)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PCon)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem8 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8
Dummy variables 𝑏 𝑎 𝑣 𝑦 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift3.y . . 3 𝑌 = 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ SCon)
5 cvmlift3.l . . 3 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PCon)
6 cvmlift3.o . . 3 (𝜑𝑂𝑌)
7 cvmlift3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift3.e . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 30557 . 2 (𝜑𝐻:𝑌𝐵)
123adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
13 eqid 2610 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
142, 13cnf 20860 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
157, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
1615ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐽)
17 cvmlift3lem7.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1817, 13cvmcov 30499 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐽) → ∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
1912, 16, 18syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
20 n0 3890 . . . . . . 7 ((𝑆𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
215ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PCon)
227ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
2417cvmsrcl 30500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝑎𝐽)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑎𝐽)
26 cnima 20879 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑎𝐽) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐾)
2722, 25, 26syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐾)
28 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑦𝑌)
29 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)
30 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑌 𝐽𝐺 Fn 𝑌)
31 elpreima 6245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝐺𝑎) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)))
3222, 14, 30, 314syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑎) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)))
3328, 29, 32mpbir2and 959 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑦 ∈ (𝐺𝑎))
34 nlly2i 21089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PCon ∧ (𝐺𝑎) ∈ 𝐾𝑦 ∈ (𝐺𝑎)) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))
3521, 27, 33, 34syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))
363ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
374ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝐾 ∈ SCon)
385ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PCon)
396ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑂𝑌)
407ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
418ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑃𝐵)
429ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
4329adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)
4423adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
45 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎))
4645elpwid 4118 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑚 ⊆ (𝐺𝑎))
47 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑡 (𝐻𝑦) ∈ 𝑏) = (𝑏𝑡 (𝐻𝑦) ∈ 𝑏)
48 simprr3 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → (𝐾t 𝑚) ∈ PCon)
49 simprlr 799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑣𝐾)
50 simprr2 1103 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑣𝑚)
51 simprr1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝑦𝑣)
521, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51cvmlift3lem7 30561 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
5352expr 641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾)) → ((𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5453rexlimdvva 3020 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PCon) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5535, 54mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
5655expr 641 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5756exlimdv 1848 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5820, 57syl5bi 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → ((𝑆𝑎) ≠ ∅ → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5958expimpd 627 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
6059rexlimdvw 3016 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
6119, 60mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
6261ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
63 scontop 30464 . . . . 5 (𝐾 ∈ SCon → 𝐾 ∈ Top)
644, 63syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
652toptopon 20548 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
6664, 65sylib 207 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
67 cvmtop1 30496 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
683, 67syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Top)
691toptopon 20548 . . . 4 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
7068, 69sylib 207 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
71 cncnp 20894 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌𝐵 ∧ ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
7266, 70, 71syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌𝐵 ∧ ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
7311, 62, 72mpbir2and 959 1 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   ↾t crest 15904  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   CnP ccnp 20839  𝑛-Locally cnlly 21078  Homeochmeo 21366  IIcii 22486  PConcpcon 30455  SConcscon 30456   CovMap ccvm 30491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-con 21025  df-lly 21079  df-nlly 21080  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pco 22613  df-pcon 30457  df-scon 30458  df-cvm 30492 This theorem is referenced by:  cvmlift3lem9  30563
 Copyright terms: Public domain W3C validator