Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem6 30544
 Description: Lemma for cvmlift2 30552. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem6 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem6
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . . . . . 8 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐵)
5 cvmlift2.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem5 30543 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
10 ffn 5958 . . . . . 6 (𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
12 fnov 6666 . . . . 5 (𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ 𝐾 = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
1311, 12sylib 207 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
1413reseq1d 5316 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))))
15 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
1615snssd 4281 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → {𝑋} ⊆ (0[,]1))
17 ssid 3587 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ (0[,]1)
18 resmpt2 6656 . . . . 5 (({𝑋} ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
1916, 17, 18sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
20 elsni 4142 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ {𝑋} → 𝑢 = 𝑋)
21203ad2ant2 1076 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑢 = 𝑋)
2221oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝐾𝑣) = (𝑋𝐾𝑣))
23 simp1r 1079 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
24 simp3 1056 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem4 30542 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑋𝐾𝑣) = ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣))
2623, 24, 25syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑋𝐾𝑣) = ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣))
2722, 26eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝐾𝑣) = ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣))
2827mpt2eq3dva 6617 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣)))
2919, 28eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣)))
3014, 29eqtrd 2644 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣)))
31 eqid 2610 . . . 4 (II ↾t {𝑋}) = (II ↾t {𝑋})
32 iitopon 22490 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3332a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
34 eqid 2610 . . . 4 (II ↾t (0[,]1)) = (II ↾t (0[,]1))
3517a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]1))
3633, 33cnmpt2nd 21282 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑣) ∈ ((II ×t II) Cn II))
37 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋))) = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 37cvmlift2lem3 30541 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋))) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘0) = (𝐻𝑋)))
3938simp1d 1066 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋))) ∈ (II Cn 𝐶))
4033, 33, 36, 39cnmpt21f 21285 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
4131, 33, 16, 34, 33, 35, 40cnmpt2res 21290 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣)) ∈ (((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))) Cn 𝐶))
42 iitop 22491 . . . . 5 II ∈ Top
43 snex 4835 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
44 ovex 6577 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
45 txrest 21244 . . . . 5 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))))
4642, 42, 43, 44, 45mp4an 705 . . . 4 ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1)))
4746oveq1i 6559 . . 3 (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶) = (((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))) Cn 𝐶)
4841, 47syl6eleqr 2699 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))‘𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
4930, 48eqeltrd 2688 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049   ↾t crest 15904  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  IIcii 22486   CovMap ccvm 30491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-con 21025  df-lly 21079  df-nlly 21080  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pcon 30457  df-scon 30458  df-cvm 30492 This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  30547
 Copyright terms: Public domain W3C validator