Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgr0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgr0v 40650
 Description: A graph with no vertices (and therefore no edges) is a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgr0v ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Proof of Theorem cusgr0v
StepHypRef Expression
1 cplgr0v.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21eqeq1i 2615 . . 3 (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
3 usgr0v 40467 . . 3 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph )
42, 3syl3an2b 1355 . 2 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph )
51cplgr0v 40649 . . 3 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
653adant3 1074 . 2 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
7 iscusgr 40640 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
84, 6, 7sylanbrc 695 1 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   USGraph cusgr 40379  ComplGraphccplgr 40552  ComplUSGraphccusgr 40553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-2 10956  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-cplgr 40557  df-cusgr 40558 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator