MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssss 19848
Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssss (𝑆𝐶𝑆𝑉)

Proof of Theorem cssss
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2 cssss.c . . 3 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
31, 2cssi 19847 . 2 (𝑆𝐶𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4 cssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
54, 1ocvss 19833 . 2 ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ⊆ 𝑉
63, 5syl6eqss 3618 1 (𝑆𝐶𝑆𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  Basecbs 15695  ocvcocv 19823  CSubSpccss 19824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-ocv 19826  df-css 19827
This theorem is referenced by:  cssmre  19856  ocvpj  19880  hlhillcs  36268
  Copyright terms: Public domain W3C validator