Theorem cssss 19848

Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c	⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssss	⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem cssss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		cssss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 19847	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4		cssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5	4, 1	ocvss 19833	. 2 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ⊆ 𝑉
6	3, 5	syl6eqss 3618	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  ocvcocv 19823  CSubSpccss 19824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-ocv 19826  df-css 19827

This theorem is referenced by:  cssmre  19856  ocvpj  19880  hlhillcs  36268