Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cplgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr1v 40652
 Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cplgr1v ((#‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v
Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 (((#‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
2 ral0 4028 . . . . 5 𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3 cplgr0v.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) ∈ V
53, 4eqeltri 2684 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
6 hash1snb 13068 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
8 velsn 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
9 sneq 4135 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
109difeq2d 3690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
11 difid 3902 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
1210, 11syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
138, 12sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
15 eleq2 2677 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉𝑣 ∈ {𝑛}))
16 difeq1 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
1716eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
1814, 15, 173imtr4d 282 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
1918exlimiv 1845 . . . . . . . 8 (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
207, 19sylbi 206 . . . . . . 7 ((#‘𝑉) = 1 → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
2120imp 444 . . . . . 6 (((#‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
2221raleqdv 3121 . . . . 5 (((#‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
232, 22mpbiri 247 . . . 4 (((#‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
243cplgr1vlem 40651 . . . . . 6 ((#‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
253uvtxael 40614 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 1 → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))))
2726adantr 480 . . . 4 (((#‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))))
281, 23, 27mpbir2and 959 . . 3 (((#‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
2928ralrimiva 2949 . 2 ((#‘𝑉) = 1 → ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
303iscplgr 40636 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
3124, 30syl 17 . 2 ((#‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
3229, 31mpbird 246 1 ((#‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   NeighbVtx cnbgr 40550  UnivVtxcuvtxa 40551  ComplGraphccplgr 40552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uvtxa 40556  df-cplgr 40557 This theorem is referenced by:  cusgr1v  40653
 Copyright terms: Public domain W3C validator