MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cp 8637
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 8631 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . 3 𝑧 ∈ V
21cplem2 8636 . 2 𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3 abn0 3908 . . . . 5 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4 elin 3758 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤))
5 abid 2598 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ↔ 𝜑)
65anbi1i 727 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤) ↔ (𝜑𝑦𝑤))
7 ancom 465 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
84, 6, 73bitri 285 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
98exbii 1764 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
10 nfab1 2753 . . . . . . . 8 𝑦{𝑦𝜑}
11 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑦𝑤
1210, 11nfin 3782 . . . . . . 7 𝑦({𝑦𝜑} ∩ 𝑤)
1312n0f 3886 . . . . . 6 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤))
14 df-rex 2902 . . . . . 6 (∃𝑦𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
159, 13, 143bitr4i 291 . . . . 5 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑤 𝜑)
163, 15imbi12i 339 . . . 4 (({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1716ralbii 2963 . . 3 (∀𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1817exbii 1764 . 2 (∃𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
192, 18mpbi 219 1 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wex 1695  wcel 1977  {cab 2596  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  cin 3539  c0 3874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-reg 8380  ax-inf2 8421
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-r1 8510  df-rank 8511
This theorem is referenced by:  bnd  8638
  Copyright terms: Public domain W3C validator