HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  counop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem counop 28164
Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
counop ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)

Proof of Theorem counop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 28159 . . . 4 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 unopf1o 28159 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3 f1oco 6072 . . . 4 ((𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
41, 2, 3syl2an 493 . . 3 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
5 f1ofo 6057 . . 3 ((𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
64, 5syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
7 f1of 6050 . . . . . . . 8 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
10 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
11 fvco3 6185 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
129, 10, 11syl2an 493 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
13 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
14 fvco3 6185 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
159, 13, 14syl2an 493 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
1612, 15oveq12d 6567 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))))
17 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
18 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1917, 18anim12dan 878 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
208, 19sylan 487 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
21 unop 28158 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
22213expb 1258 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2320, 22sylan2 490 . . . . 5 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2423anassrs 678 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
25 unop 28158 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
26253expb 1258 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2726adantll 746 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2816, 24, 273eqtrd 2648 . . 3 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2928ralrimivva 2954 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30 elunop 28115 . 2 ((𝑆𝑇) ∈ UniOp ↔ ((𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
316, 29, 30sylanbrc 695 1 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  ccom 5042  wf 5800  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  chil 27160   ·ih csp 27163  UniOpcuo 27190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-hvsub 27212  df-unop 28086
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator