Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coseq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coseq1 24078
 Description: A complex number whose cosine is one is an integer multiple of 2π. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
coseq1 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))

Proof of Theorem coseq1
StepHypRef Expression
1 2cn 10968 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2 2ne0 10990 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
3 divcan2 10572 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
41, 2, 3mp3an23 1408 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
54fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
6 halfcl 11134 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
7 cos2tsin 14748 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
95, 8eqtr3d 2646 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
109eqeq1d 2612 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1))
116sincld 14699 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
1211sqcld 12868 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
13 mulcl 9899 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
141, 12, 13sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
15 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
16 subsub23 10165 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
1715, 15, 16mp3an13 1407 . . . . . 6 ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
1814, 17syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
19 eqcom 2617 . . . . . 6 ((1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − 1))
20 1m1e0 10966 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
2120eqeq2i 2622 . . . . . 6 ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − 1) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0)
2219, 21bitri 263 . . . . 5 ((1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0)
2318, 22syl6bb 275 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0))
2410, 23bitrd 267 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0))
25 mul0or 10546 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
261, 12, 25sylancr 694 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
272neii 2784 . . . . 5 ¬ 2 = 0
28 biorf 419 . . . . 5 (¬ 2 = 0 → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
2927, 28ax-mp 5 . . . 4 (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0))
3026, 29syl6bbr 277 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0))
31 sqeq0 12789 . . . 4 ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
3211, 31syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
3324, 30, 323bitrd 293 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
34 sineq0 24077 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
356, 34syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
361, 2pm3.2i 470 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37 picn 24015 . . . . 5 π ∈ ℂ
38 pire 24014 . . . . . 6 π ∈ ℝ
39 pipos 24016 . . . . . 6 0 < π
4038, 39gt0ne0ii 10443 . . . . 5 π ≠ 0
4137, 40pm3.2i 470 . . . 4 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
42 divdiv1 10615 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
4336, 41, 42mp3an23 1408 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
4443eleq1d 2672 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4533, 35, 443bitrd 293 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  taupilem1  32344  dirkertrigeqlem1  38991  dirkertrigeq  38994
 Copyright terms: Public domain W3C validator