Theorem conima 21038

Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
conima.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
conima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
conima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
conima.c	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Con)

Assertion

Ref	Expression
conima	⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Con)

Proof of Theorem conima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conima.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Con)
2		conima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		conima.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 20860	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
7		ffun 5961	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾 → Fun 𝐹)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9		conima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10		fdm 5964	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾 → dom 𝐹 = 𝑋)
11	6, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
12	9, 11	sseqtr4d 3605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13		fores 6037	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
14	8, 12, 13	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
15		cntop2 20855	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
16	2, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
17		imassrn 5396	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
18		frn 5966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
20	17, 19	syl5ss 3579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾)
21	4	restuni 20776	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
22	16, 20, 21	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
23		foeq3 6026	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
25	14, 24	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
26	3	cnrest 20899	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
27	2, 9, 26	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
28	4	toptopon 20548	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
29	16, 28	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
30		df-ima 5051	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
31		eqimss2 3621	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
32	30, 31	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
33		cnrest2 20900	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
34	29, 32, 20, 33	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
35	27, 34	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
36		eqid 2610	. . 3 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))
37	36	cnconn 21035	. 2 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∧ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))) → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Con)
38	1, 25, 35, 37	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Con)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾_t crest 15904  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  Conccon 21024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-cn 20841  df-con 21025

This theorem is referenced by:  tgpconcompeqg  21725  tgpconcomp  21726