Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conima 21038
 Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
conima.x 𝑋 = 𝐽
conima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
conima.a (𝜑𝐴𝑋)
conima.c (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Con)
Assertion
Ref Expression
conima (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Con)

Proof of Theorem conima
StepHypRef Expression
1 conima.c . 2 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Con)
2 conima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 conima.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 eqid 2610 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 20860 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
7 ffun 5961 . . . . 5 (𝐹:𝑋 𝐾 → Fun 𝐹)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 conima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
10 fdm 5964 . . . . . 6 (𝐹:𝑋 𝐾 → dom 𝐹 = 𝑋)
116, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
129, 11sseqtr4d 3605 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 fores 6037 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
148, 12, 13syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
15 cntop2 20855 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 imassrn 5396 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
18 frn 5966 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋 𝐾 → ran 𝐹 𝐾)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 𝐾)
2017, 19syl5ss 3579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾)
214restuni 20776 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
2216, 20, 21syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
23 foeq3 6026 . . . 4 ((𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2514, 24mpbid 221 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)))
263cnrest 20899 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
272, 9, 26syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
284toptopon 20548 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2916, 28sylib 207 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
30 df-ima 5051 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
31 eqimss2 3621 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
3230, 31mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
33 cnrest2 20900 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3429, 32, 20, 33syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3527, 34mpbid 221 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴))))
36 eqid 2610 . . 3 (𝐾t (𝐹𝐴)) = (𝐾t (𝐹𝐴))
3736cnconn 21035 . 2 (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))) → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Con)
381, 25, 35, 37syl3anc 1318 1 (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Con)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  Conccon 21024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-cn 20841  df-con 21025 This theorem is referenced by:  tgpconcompeqg  21725  tgpconcomp  21726
 Copyright terms: Public domain W3C validator