Theorem coep 30894

Description: Composition with epsilon. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coep	⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	epelc 4951	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	anbi2i 726	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ancom 465	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
5	3, 4	bitri 263	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
6	5	exbii 1764	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
7		coep.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7, 1	brco 5214	. 2 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵))
9		df-rex 2902	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
10	6, 8, 9	3bitr4i 291	1 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   E cep 4947   ∘ ccom 5042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-eprel 4949  df-co 5047

This theorem is referenced by:  dffr5  30896  brbigcup  31175  elfuns  31192  brimage  31203