Theorem coe1mul2lem2 19459

Description: An equivalence for coe1mul2 19460. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 7459	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
2		nn0ex 11175	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 4718	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 7791	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
6		f1of1 6049	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
9		ssrab2 3650	. . . . 5 ⊢ {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
10	8, 9	eqsstri 3598	. . . 4 ⊢ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
12		f1ores 6064	. . 3 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0 ∧ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13	7, 11, 12	sylancr 694	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
14		coe1mul2lem1 19458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
15	14	rabbidva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
16		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
17	16	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
18	17	cbvrabv 3172	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
19	15, 18	syl6eqr 2662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
20	4	mptpreima 5545	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
21	19, 8, 20	3eqtr4g 2669	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
22	21	imaeq2d 5385	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
23		f1ofo 6057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0
25		fz0ssnn0 12304	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑘) ⊆ ℕ0
26		foimacnv 6067	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
27	24, 25, 26	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
28	22, 27	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
29	28	f1oeq3d 6047	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
30		resmpt 5369	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
31		f1oeq1 6040	. . . 4 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
32	11, 30, 31	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
33	29, 32	bitrd 267	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
34	13, 33	mpbid 221	1 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  –1-1→wf1 5801  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑟 cofr 6794  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  coe1mul2  19460