MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 19459
Description: An equivalence for coe1mul2 19460. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 7459 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
2 nn0ex 11175 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 4718 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2610 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 7791 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6049 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
9 ssrab2 3650 . . . . 5 {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
108, 9eqsstri 3598 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
1110a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜))
12 f1ores 6064 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
137, 11, 12sylancr 694 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
14 coe1mul2lem1 19458 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1514rabbidva 3163 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
16 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1716eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1817cbvrabv 3172 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1915, 18syl6eqr 2662 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
204mptpreima 5545 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2119, 8, 203eqtr4g 2669 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2221imaeq2d 5385 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
23 f1ofo 6057 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
245, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0
25 fz0ssnn0 12304 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
26 foimacnv 6067 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2724, 25, 26mp2an 704 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2822, 27syl6eq 2660 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2928f1oeq3d 6047 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
30 resmpt 5369 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
31 f1oeq1 6040 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3211, 30, 313syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3329, 32bitrd 267 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3413, 33mpbid 221 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  wss 3540  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643   × cxp 5036  ccnv 5037  cres 5040  cima 5041  1-1wf1 5801  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑟 cofr 6794  1𝑜c1o 7440  𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  cle 9954  0cn0 11169  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198
This theorem is referenced by:  coe1mul2  19460
  Copyright terms: Public domain W3C validator