Theorem coe1mul2lem1 19458

Description: An equivalence for coe1mul2 19460. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝑋 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem coe1mul2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7454	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → 1𝑜 ∈ On)
3		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (𝑋‘∅) ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) ∧ 𝑎 ∈ 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ V)
5		simpll 786	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) ∧ 𝑎 ∈ 1𝑜) → 𝐴 ∈ ℕ0)
6		df1o2 7459	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 = {∅}
7		nn0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
8		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	6, 7, 8	mapsnconst 7789	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
11		fconstmpt 5085	. . . 4 ⊢ (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}) = (𝑎 ∈ 1𝑜 ↦ (𝑋‘∅))
12	10, 11	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 1𝑜 ↦ (𝑋‘∅)))
13		fconstmpt 5085	. . . 4 ⊢ (1𝑜 × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1𝑜 ↦ 𝐴)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (1𝑜 × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1𝑜 ↦ 𝐴))
15	2, 4, 5, 12, 14	ofrfval2 6813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝑋 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝐴}) ↔ ∀𝑎 ∈ 1𝑜 (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
16		1n0 7462	. . 3 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
17		r19.3rzv 4016	. . 3 ⊢ (1𝑜 ≠ ∅ → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1𝑜 (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
18	16, 17	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1𝑜 (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
19		elmapi 7765	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → 𝑋:1𝑜⟶ℕ0)
20		0lt1o 7471	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
21		ffvelrn 6265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋:1𝑜⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
22	19, 20, 21	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
24	23	biantrurd 528	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
25		fznn0 12301	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
27	24, 26	bitr4d 270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
28	15, 18, 27	3bitr2d 295	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝑋 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑟 cofr 6794  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  19459  coe1mul2  19460