Theorem cnvunop 28161

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvunop	⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

Proof of Theorem cnvunop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 28159	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1ocnv 6062	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3		f1ofo 6057	. . . 4 ⊢ (◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
6		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑇 ∈ UniOp)
7		fof 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffvelrnda 6267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10	9	adantrr 749	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
11	8	ffvelrnda 6267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
12	11	adantrl 748	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
13		unop 28158	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
14	6, 10, 12, 13	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
15		f1ocnvfv2 6433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
16	15	adantrr 749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
17		f1ocnvfv2 6433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
18	17	adantrl 748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
19	16, 18	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
20	1, 19	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
21	14, 20	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
22	21	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
23		elunop 28115	. 2 ⊢ (◡𝑇 ∈ UniOp ↔ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ^◡ccnv 5037  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ℋchil 27160   ·_ih csp 27163  UniOpcuo 27190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-hvsub 27212  df-unop 28086

This theorem is referenced by:  unoplin  28163  unopadj2  28181