Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzspan 18070
 Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzspan.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzspan.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
cntzspan.h 𝐻 = (𝐺s (𝐾𝑆))
Assertion
Ref Expression
cntzspan ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntzspan
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21submacs 17188 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
32adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
43acsmred 16140 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5 simpr 476 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
6 cntzspan.z . . . . . . . 8 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
71, 6cntzssv 17584 . . . . . . 7 (𝑍𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
85, 7syl6ss 3580 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
91, 6cntzsubm 17591 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
108, 9syldan 486 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
11 cntzspan.k . . . . . 6 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
1211mrcsscl 16103 . . . . 5 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆))
134, 5, 10, 12syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆))
144, 11mrcssvd 16106 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
151, 6cntzrec 17589 . . . . 5 (((𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
1614, 8, 15syl2anc 691 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → ((𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
1713, 16mpbid 221 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
181, 6cntzsubm 17591 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
1914, 18syldan 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2011mrcsscl 16103 . . 3 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∧ (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
214, 17, 19, 20syl3anc 1318 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
2211mrccl 16094 . . . 4 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
234, 8, 22syl2anc 691 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
24 cntzspan.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s (𝐾𝑆))
2524, 6submcmn2 18067 . . 3 ((𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
2623, 25syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
2721, 26mpbird 246 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  ACScacs 16068  Mndcmnd 17117  SubMndcsubmnd 17157  Cntzccntz 17571  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  gsumzsplit  18150  gsumzoppg  18167  gsumpt  18184
 Copyright terms: Public domain W3C validator