MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpimaex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnpimaex 20870
Description: Property of a function continuous at a point. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnpimaex ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cnpimaex
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2610 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
31, 2iscnp2 20853 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
43simprbi 479 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
54simprd 478 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))
6 eleq2 2677 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
7 sseq2 3590 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
87anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
98rexbidv 3034 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
106, 9imbi12d 333 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
1110rspccv 3279 . . 3 (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → (𝐴𝐾 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
125, 11syl 17 . 2 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐴𝐾 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
13123imp 1249 1 ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  wss 3540   cuni 4372  cima 5041  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Topctop 20517   CnP ccnp 20839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-top 20521  df-topon 20523  df-cnp 20842
This theorem is referenced by:  iscnp4  20877  cnpnei  20878  cnpco  20881  cncnp  20894  cnpresti  20902  lmcnp  20918  txcnpi  21221  txcnp  21233  ptcnplem  21234  cnpflfi  21613  ghmcnp  21728  xrlimcnp  24495  cnambfre  32628
  Copyright terms: Public domain W3C validator