Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptre 22534
 Description: Lemma for iirevcn 22537 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
cnmptre.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
Assertion
Ref Expression
cnmptre (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (𝑅t 𝐴) = (𝑅t 𝐴)
2 cnmptre.1 . . . . . . 7 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22396 . . . . . 6 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnmptre.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 9872 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
75, 6syl6ss 3580 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 cnmptre.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
91, 4, 7, 8cnmpt1res 21289 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅))
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
112, 10rerest 22415 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
125, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13 cnmptre.2 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
1412, 13syl6eqr 2662 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = 𝐽)
1514oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
169, 15eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17 cnmptre.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
18 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐹) = (𝑥𝐴𝐹)
1917, 18fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹):𝐴𝐵)
20 frn 5966 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐹):𝐴𝐵 → ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵)
22 cnmptre.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
2322, 6syl6ss 3580 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
24 cnrest2 20900 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
254, 21, 23, 24syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
2616, 25mpbid 221 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)))
272, 10rerest 22415 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
2822, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
29 cnmptre.3 . . . 4 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
3028, 29syl6eqr 2662 . . 3 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = 𝐾)
3130oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
3226, 31eleqtrd 2690 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  (,)cioo 12046   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-xms 21935  df-ms 21936 This theorem is referenced by:  iirevcn  22537  iihalf1cn  22539  iihalf2cn  22541  pcoass  22632
 Copyright terms: Public domain W3C validator