Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllyscon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnllyscon 30481
 Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllyscon.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnllyscon 𝐽 ∈ Locally SCon

Proof of Theorem cnllyscon
Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllyscon.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 22397 . 2 𝐽 ∈ Top
3 cnxmet 22386 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41cnfldtopn 22395 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54mopni2 22108 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
63, 5mp3an1 1403 . . . 4 ((𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
73a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
81cnfldtopon 22396 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥𝐽)
10 toponss 20544 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ⊆ ℂ)
118, 9, 10sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ℂ)
12 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦𝑥)
1311, 12sseldd 3569 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℂ)
14 rpxr 11716 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
1514ad2antrl 760 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
164blopn 22115 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
177, 13, 15, 16syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
18 simprr 792 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
19 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2019elpw2 4755 . . . . . . 7 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
2118, 20sylibr 223 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥)
2217, 21elind 3760 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥))
23 simprl 790 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
24 blcntr 22028 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
257, 13, 23, 24syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
26 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)
27 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
281, 26, 27blscon 30480 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SCon)
2913, 15, 28syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SCon)
30 eleq2 2677 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
31 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝐽t 𝑢) = (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
3231eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝐽t 𝑢) ∈ SCon ↔ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SCon))
3330, 32anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SCon) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SCon)))
3433rspcev 3282 . . . . 5 (((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SCon)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SCon))
3522, 25, 29, 34syl12anc 1316 . . . 4 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SCon))
366, 35rexlimddv 3017 . . 3 ((𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SCon))
3736rgen2 2958 . 2 𝑥𝐽𝑦𝑥𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SCon)
38 islly 21081 . 2 (𝐽 ∈ Locally SCon ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SCon)))
392, 37, 38mpbir2an 957 1 𝐽 ∈ Locally SCon
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝ*cxr 9952   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  Locally clly 21077  SConcscon 30456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lly 21079  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pcon 30457  df-scon 30458 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator