Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextf 21680
 Description: Extension by continuity. The extension by continuity is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cnextf (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 cnextf.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
3 cnextf.5 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
4 cnextf.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
5 cnextf.1 . . . . 5 𝐶 = 𝐽
6 cnextf.2 . . . . 5 𝐵 = 𝐾
75, 6cnextfun 21678 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
81, 2, 3, 4, 7syl22anc 1319 . . 3 (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
9 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝜑)
10 cnextf.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
1110eleq2d 2673 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
1211biimpar 501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
13 cnextf.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
14 n0 3890 . . . . . . . 8 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
1513, 14sylib 207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
16 haustop 20945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
172, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Top)
185, 6cnextfval 21676 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
191, 17, 3, 4, 18syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2019eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
21 opeliunxp 5093 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2220, 21syl6bb 275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
2322exbidv 1837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
24 19.42v 1905 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2523, 24syl6bb 275 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
2625biimpar 501 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))) → ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
279, 12, 15, 26syl12anc 1316 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
2825simprbda 651 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
2911adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
3028, 29mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → 𝑥𝐶)
3127, 30impbida 873 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)))
3231abbi2dv 2729 . . . 4 (𝜑𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)})
33 dfdm3 5232 . . . 4 dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)}
3432, 33syl6reqr 2663 . . 3 (𝜑 → dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶)
35 df-fn 5807 . . 3 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶 ↔ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∧ dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶))
368, 34, 35sylanbrc 695 . 2 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
3719rneqd 5274 . . 3 (𝜑 → ran ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ran 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
38 rniun 5462 . . . 4 ran 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
39 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
4039snnz 4252 . . . . . . . 8 {𝑥} ≠ ∅
41 rnxp 5483 . . . . . . . 8 ({𝑥} ≠ ∅ → ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)
4311biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑥𝐶)
446toptopon 20548 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
4517, 44sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
475toptopon 20548 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
481, 47sylib 207 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
504adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
51 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
52 trnei 21506 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
5352biimpa 500 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
5449, 50, 51, 12, 53syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
553adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
56 flfelbas 21608 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) → 𝑦𝐵)
5756ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) → 𝑦𝐵))
5857ssrdv 3574 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ 𝐵)
5946, 54, 55, 58syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ 𝐵)
6043, 59syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ 𝐵)
6142, 60syl5eqss 3612 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6261ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
63 iunss 4497 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6462, 63sylibr 223 . . . 4 (𝜑 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)ran ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6538, 64syl5eqss 3612 . . 3 (𝜑 → ran 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ⊆ 𝐵)
6637, 65eqsstrd 3602 . 2 (𝜑 → ran ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ⊆ 𝐵)
67 df-f 5808 . 2 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵 ↔ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶 ∧ ran ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ⊆ 𝐵))
6836, 66, 67sylanbrc 695 1 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  clsccl 20632  neicnei 20711  Hauscha 20922  Filcfil 21459   fLimf cflf 21549  CnExtccnext 21673 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-pm 7747  df-rest 15906  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-cnext 21674 This theorem is referenced by:  cnextcn  21681  cnextfres1  21682
 Copyright terms: Public domain W3C validator