Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncvs 22753
 Description: The set of complex numbers (as a subring of itself) is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrlmod.c 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cncvs 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrlmod.c . . . . 5 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
21cnrlmod 22751 . . . 4 𝐶 ∈ LMod
3 cnfldex 19570 . . . . . 6 fld ∈ V
4 cnfldbas 19571 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
54ressid 15762 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → (ℂflds ℂ) = ℂfld)
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℂ) = ℂfld
76eqcomi 2619 . . . 4 fld = (ℂflds ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 addcl 9897 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10 negcl 10160 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
12 mulcl 9899 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
138, 9, 10, 11, 12cnsubrglem 19615 . . . 4 ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14 rlmsca 19021 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
153, 14ax-mp 5 . . . . . 6 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
161eqcomi 2619 . . . . . . 7 (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
1716fveq2i 6106 . . . . . 6 (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
1815, 17eqtri 2632 . . . . 5 fld = (Scalar‘𝐶)
1918isclmi 22685 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂflds ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
202, 7, 13, 19mp3an 1416 . . 3 𝐶 ∈ ℂMod
211cnrlvec 22752 . . 3 𝐶 ∈ LVec
22 elin 3758 . . 3 (𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (𝐶 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ LVec))
2320, 21, 22mpbir2an 957 . 2 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 df-cvs 22732 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2523, 24eleqtrri 2687 1 𝐶 ∈ ℂVec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ↾s cress 15696  Scalarcsca 15771  SubRingcsubrg 18599  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  ringLModcrglmod 18990  ℂfldccnfld 19567  ℂModcclm 22670  ℂVecccvs 22731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-clm 22671  df-cvs 22732 This theorem is referenced by:  cnncvs  22767  cnncvsmulassdemo  22772
 Copyright terms: Public domain W3C validator