cncfperiod - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem cncfperiod 38764

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cncfperiod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cncfperiod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfperiod.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
cncfperiod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
cncfperiod.cssdmf	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
cncfperiod.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
cncfperiod.fcn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

**Assertion**
Ref	Expression
cncfperiod	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝑥,𝑇,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cncfperiod Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfperiod.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2		cncfperiod.cssdmf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
3	1, 2	fssresd 5984	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
4		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		cncfperiod.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
6	4, 5	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
7		rabid 3095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8	6, 7	sylib 207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
9	8	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
10		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
11	10	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
12		cncfperiod.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
13	12	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
14		cncfperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
15	14	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
17	13, 16	pncand 10272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
18	17	adantlr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
19	18	3adant3 1074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
20	11, 19	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = 𝑦)
21		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
23	22	rexlimdv3a 3015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
24	9, 23	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
25		cncfperiod.fcn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
27	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
28		ssid 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ℂ ⊆ ℂ)
30		elcncf 22500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
31	27, 29, 30	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
32	26, 31	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
33	32	simprd 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
34		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑎 − 𝑏) = ((𝑥 − 𝑇) − 𝑏))
35	34	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)))
36	35	breq1d 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧))
37		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
38	37	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏)) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏)))
39	38	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))))
40	39	breq1d 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → ((abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
41	36, 40	imbi12d 333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
42	41	rexralbidv 3040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
43	42	ralbidv 2969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
44	43	rspcva 3280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
45	24, 33, 44	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
46	45	adantrr 749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
47		simprr 792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → 𝑤 ∈ ℝ⁺)
48		rspa 2914	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
49	46, 47, 48	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
50		simpl1l 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝜑)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝜑)
52		simp1rl 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑣 ∈ 𝐵)
56		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
58		ssrab2 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ⊆ ℂ
59	5, 58	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
60	59	sseli 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℂ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
62	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
63	61, 62	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
64	63	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
65	64	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)))
66		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜑)
67	66, 24	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
68		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
69	68	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
70		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑦 + 𝑇) = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
71	70	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)))
72		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
73	71, 72	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
74	69, 73	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))))
75		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
76	75	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
77		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
78	77	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
79		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
80	78, 79	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)))
81	76, 80	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))))
82		cncfperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
83	81, 82	chvarv 2251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
84	74, 83	vtoclg 3239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
85	24, 67, 84	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
86		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
87	24, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
88	85, 87	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
89	57, 65, 88	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
90	89	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
91		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ 𝐵))
92	91	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)))
93		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))
94		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 − 𝑇) = (𝑣 − 𝑇))
95	94	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
96	93, 95	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
97	92, 96	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
98	97, 89	chvarv 2251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
99	98	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
100	90, 99	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣)) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
101	100	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
102	51, 54, 55, 101	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
103	51, 54, 55	jca31 555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵))
104		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
105	8	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
107	59	sseli 3564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑣 ∈ ℂ)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℂ)
109	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
110	106, 108, 109	nnncan2d 10306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)) = (𝑥 − 𝑣))
111	110	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
113		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
114	112, 113	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
115	103, 104, 114	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
116	94	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴))
117	92, 116	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
118	117, 24	chvarv 2251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
119	51, 55, 118	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
120		simpll3 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
121		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝑥 − 𝑇) − 𝑏) = ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)))
122	121	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))))
123	122	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧))
124		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
125	124	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏)) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
126	125	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
127	126	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
128	123, 127	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)))
129	128	rspcva 3280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
130	119, 120, 129	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
131	115, 130	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)
132	102, 131	eqbrtrd 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)
133	132	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
134	133	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
135	134	3exp 1256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
136	135	reximdvai 2998	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)))
137	49, 136	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
138	137	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
139	59	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
140	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
141		elcncf 22500	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
142	139, 140, 141	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
143	3, 138, 142	mpbir2and 959	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 {crab 2900 ⊆ wss 3540 class class class wbr 4583 dom cdm 5038 ↾ cres 5040 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 + caddc 9818 < clt 9953 − cmin 10145 ℝ⁺crp 11708 abscabs 13822 –cn→ccncf 22487

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-op 4132 df-uni 4373 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-er 7629 df-map 7746 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-ltxr 9958 df-sub 10147 df-cncf 22489

This theorem is referenced by: itgperiod 38873 fourierdlem81 39080

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