Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfmptssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmptssg 38755
 Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using "map to" notation. This theorem generalizes cncfmptss 38654 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmptssg.2 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
cncfmptssg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfmptssg.4 (𝜑𝐶𝐴)
cncfmptssg.5 (𝜑𝐷𝐵)
cncfmptssg.6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmptssg (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg
StepHypRef Expression
1 cncfmptssg.6 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
2 eqid 2610 . . 3 (𝑥𝐶𝐸) = (𝑥𝐶𝐸)
31, 2fmptd 6292 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷)
4 cncfmptssg.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
5 cncfmptssg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
6 cncfrss2 22503 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
84, 7sstrd 3578 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
9 cncfmptssg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
109sselda 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
11 cncfmptssg.2 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
1211fvmpt2 6200 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐸𝐷) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1310, 1, 12syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1413mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶𝐸))
15 nfmpt1 4675 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐸)
1611, 15nfcxfr 2749 . . . . 5 𝑥𝐹
1716, 5, 9cncfmptss 38654 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (𝐶cn𝐵))
1814, 17eqeltrrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵))
19 cncffvrn 22509 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵)) → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
208, 18, 19syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
213, 20mpbird 246 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-abs 13824  df-cncf 22489 This theorem is referenced by:  negcncfg  38766  itgsinexplem1  38845  itgiccshift  38872  itgperiod  38873  itgsbtaddcnst  38874  dirkeritg  38995  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem18  39018  fourierdlem23  39023  fourierdlem39  39039  fourierdlem40  39040  fourierdlem62  39061  fourierdlem73  39072  fourierdlem78  39077  fourierdlem83  39082  fourierdlem84  39083  fourierdlem93  39092  fourierdlem95  39094  fourierdlem101  39100  fourierdlem111  39110  etransclem46  39173
 Copyright terms: Public domain W3C validator