Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmpt2ss 22526
 Description: Composition of continuous functions in a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2ss.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfmpt2ss.2 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
cncfmpt2ss.3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.5 𝑆 ⊆ ℂ
cncfmpt2ss.6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2ss (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2ss
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2ss.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
2 cncff 22504 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
54fmpt 6289 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐴𝑆 ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
63, 5sylibr 223 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴𝑆)
76r19.21bi 2916 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑆)
8 cncfmpt2ss.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
9 cncff 22504 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
11 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
1211fmpt 6289 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑆 ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
1310, 12sylibr 223 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑆)
1413r19.21bi 2916 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑆)
15 cncfmpt2ss.6 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
167, 14, 15syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
17 eqid 2610 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵))
1816, 17fmptd 6292 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆)
19 cncfmpt2ss.5 . . 3 𝑆 ⊆ ℂ
20 cncfmpt2ss.1 . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21 cncfmpt2ss.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
23 ssid 3587 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
24 cncfss 22510 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ))
2519, 23, 24mp2an 704 . . . . 5 (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ)
2625, 1sseldi 3566 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2725, 8sseldi 3566 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2820, 22, 26, 27cncfmpt2f 22525 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
29 cncffvrn 22509 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
3019, 28, 29sylancr 694 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
3118, 30mpbird 246 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489 This theorem is referenced by:  cmvth  23558  dvle  23574  dvfsumle  23588  dvfsumge  23589  dvfsumlem2  23594
 Copyright terms: Public domain W3C validator