Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmt3N 33556
 Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 27838 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmt2.o = (oc‘𝐾)
cmt2.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cmt3N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶𝑌))

Proof of Theorem cmt3N
StepHypRef Expression
1 cmt2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cmt2.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
3 cmt2.c . . . 4 𝐶 = (cm‘𝐾)
41, 2, 3cmt2N 33555 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌𝐶𝑋𝑌𝐶( 𝑋)))
543com23 1263 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌𝐶𝑋𝑌𝐶( 𝑋)))
61, 3cmtcomN 33554 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌𝑌𝐶𝑋))
7 omlop 33546 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9 simp2 1055 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
101, 2opoccl 33499 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
118, 9, 10syl2anc 691 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
121, 3cmtcomN 33554 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋)𝐶𝑌𝑌𝐶( 𝑋)))
1311, 12syld3an2 1365 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋)𝐶𝑌𝑌𝐶( 𝑋)))
145, 6, 133bitr4d 299 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  occoc 15776  OPcops 33477  cmccmtN 33478  OMLcoml 33480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869  df-oposet 33481  df-cmtN 33482  df-ol 33483  df-oml 33484 This theorem is referenced by:  cmt4N  33557  omlspjN  33566
 Copyright terms: Public domain W3C validator