Theorem cmetcusp1 22957

Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmetcusp1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp1	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsms 22953	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2		msxms 22069	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4		cmetcusp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
5		cmetcusp1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		cmetcusp1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
7	4, 5, 6	xmsusp 22184	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
8	3, 7	syl3an2 1352	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9		simpl3 1059	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
10	9	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu‘𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
11	10	eleq2d 2673	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12		simpl1 1057	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
13	4, 5	cmscmet 22951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14		cmetmet 22892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		metxmet 21949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	16	3ad2ant2 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20		cfilucfil4 22926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
21	12, 18, 19, 20	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
22	11, 21	bitrd 267	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
24	23	iscmet 22890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
25	24	simprbi 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
26	13, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
28	27, 4, 5	xmstopn 22066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
30	29	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
31	30	neeq1d 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
32	31	ralbidv 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
33	26, 32	mpbird 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
34	33	r19.21bi 2916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	34	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36	35	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
38	22, 37	sylbid 229	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
39	38	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
40	4, 6, 27	iscusp2 21916	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
41	8, 39, 40	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∅c0 3874   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  MetOpencmopn 19557  metUnifcmetu 19558  Filcfil 21459   fLim cflim 21548  UnifStcuss 21867  UnifSpcusp 21868  CauFil_uccfilu 21900  CUnifSpccusp 21911  ∞MetSpcxme 21932  MetSpcmt 21933  CauFilccfil 22858  CMetcms 22860  CMetSpccms 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-metu 19566  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-fil 21460  df-ust 21814  df-utop 21845  df-usp 21871  df-cfilu 21901  df-cusp 21912  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cfil 22861  df-cmet 22863  df-cms 22940

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  22961  recusp  22978