Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkn0 26302
 Description: There is no closed walk of length 0 in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn0 (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘0) = ∅)

Proof of Theorem clwwlkn0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 25867 . . 3 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
2 simpl 472 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝑉 ∈ V)
3 simpr 476 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
4 0nn0 11184 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 0 ∈ ℕ0)
62, 3, 53jca 1235 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0))
7 clwwlkn 26295 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘0) = {𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∣ (#‘𝑝) = 0})
81, 6, 73syl 18 . 2 (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘0) = {𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∣ (#‘𝑝) = 0})
9 clwwlkgt0 26299 . . . . 5 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) → 2 ≤ (#‘𝑝)))
10 clwwlkprop 26298 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ Word 𝑉))
11 lencl 13179 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑝) ∈ ℕ0)
12 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → 0 ∈ ℝ)
13 2re 10967 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → 2 ∈ ℝ)
15 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑝) ∈ ℕ0 → (#‘𝑝) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → (#‘𝑝) ∈ ℝ)
17 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → 0 < 2)
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → 2 ≤ (#‘𝑝))
2012, 14, 16, 18, 19ltletrd 10076 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → 0 < (#‘𝑝))
2120gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → (#‘𝑝) ≠ 0)
2221neneqd 2787 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑝) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑝)) → ¬ (#‘𝑝) = 0)
2322ex 449 . . . . . . . 8 ((#‘𝑝) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑝) → ¬ (#‘𝑝) = 0))
2411, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑝) → ¬ (#‘𝑝) = 0))
25243ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ Word 𝑉) → (2 ≤ (#‘𝑝) → ¬ (#‘𝑝) = 0))
2610, 25syl 17 . . . . 5 (𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑝) → ¬ (#‘𝑝) = 0))
279, 26sylcom 30 . . . 4 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) → ¬ (#‘𝑝) = 0))
2827ralrimiv 2948 . . 3 (𝑉 USGrph 𝐸 → ∀𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ¬ (#‘𝑝) = 0)
29 rabeq0 3911 . . 3 ({𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∣ (#‘𝑝) = 0} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ¬ (#‘𝑝) = 0)
3028, 29sylibr 223 . 2 (𝑉 USGrph 𝐸 → {𝑝 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∣ (#‘𝑝) = 0} = ∅)
318, 30eqtrd 2644 1 (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘0) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146   USGrph cusg 25859   ClWWalks cclwwlk 26276   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-usgra 25862  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator