Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqmpt 38738
 Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqmpt.k 𝑘𝜑
climfveqmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqmpt.A (𝜑𝐴𝑅)
climfveqmpt.i (𝜑𝑍𝐴)
climfveqmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
climfveqmpt.t (𝜑𝐶𝑆)
climfveqmpt.l (𝜑𝑍𝐶)
climfveqmpt.c ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
climfveqmpt.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climfveqmpt (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climfveqmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climfveqmpt.A . . 3 (𝜑𝐴𝑅)
32mptexd 6391 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climfveqmpt.t . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
54mptexd 6391 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climfveqmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climfveqmpt.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1830 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1816 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1110nfcsb1 3514 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1210nfcsb1 3514 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1311, 12nfeq 2762 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1813 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 736 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climfveqmpt.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climfveqmpt.i . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐴)
25 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2624, 25sseldd 3569 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
27 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
28 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
297, 28nfan 1816 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
30 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘𝑉
3111, 30nfel 2763 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑉
3229, 31nfim 1813 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
33 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
3433anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
3517eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑉𝑗 / 𝑘𝐵𝑉))
3634, 35imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)))
37 climfveqmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3832, 36, 37chvar 2250 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
39 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
4010, 11, 17, 39fvmptf 6209 . . . . 5 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑉) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4127, 38, 40syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4226, 41syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
43 climfveqmpt.l . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐶)
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐶)
4544, 25sseldd 3569 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
46 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗𝐶)
47 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐶
487, 47nfan 1816 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐶)
49 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘𝑊
5012, 49nfel 2763 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷𝑊
5148, 50nfim 1813 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
52 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐶𝑗𝐶))
5352anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
5418eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑊𝑗 / 𝑘𝐷𝑊))
5553, 54imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)))
56 climfveqmpt.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
5751, 55, 56chvar 2250 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
58 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
5910, 12, 18, 58fvmptf 6209 . . . . 5 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑊) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6046, 57, 59syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐶) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6145, 60syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6222, 42, 613eqtr4d 2654 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
631, 3, 5, 6, 62climfveq 38736 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067 This theorem is referenced by:  fnlimfvre  38741
 Copyright terms: Public domain W3C validator