Theorem climfveqmpt 38738

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqmpt.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
climfveqmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climfveqmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
climfveqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
climfveqmpt.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
climfveqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
climfveqmpt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
climfveqmpt	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfveqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climfveqmpt.A	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3	2	mptexd 6391	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4		climfveqmpt.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
5	4	mptexd 6391	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ V)
6		climfveqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climfveqmpt.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1830	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	7, 8	nfan 1816	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
11	10	nfcsb1 3514	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
12	10	nfcsb1 3514	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
13	11, 12	nfeq 2762	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
14	9, 13	nfim 1813	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
15		eleq1 2676	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		csbeq1a 3508	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
18		csbeq1a 3508	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
19	17, 18	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷))
20	16, 19	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)))
21		climfveqmpt.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
22	14, 20, 21	chvar 2250	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
23		climfveqmpt.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
25		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	24, 25	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐴)
27		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
28		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
29	7, 28	nfan 1816	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
30		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑉
31	11, 30	nfel 2763	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉
32	29, 31	nfim 1813	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
33		eleq1 2676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
34	33	anbi2d 736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
35	17	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉))
36	34, 35	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
37		climfveqmpt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
38	32, 36, 37	chvar 2250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
39		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
40	10, 11, 17, 39	fvmptf 6209	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
41	27, 38, 40	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
42	26, 41	syldan 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
43		climfveqmpt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐶)
45	44, 25	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐶)
46		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → 𝑗 ∈ 𝐶)
47		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐶
48	7, 47	nfan 1816	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
49		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑊
50	12, 49	nfel 2763	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊
51	48, 50	nfim 1813	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
52		eleq1 2676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
53	52	anbi2d 736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
54	18	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊))
55	53, 54	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
56		climfveqmpt.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
57	51, 55, 56	chvar 2250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
58		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
59	10, 12, 18, 58	fvmptf 6209	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐶 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
60	46, 57, 59	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
61	45, 60	syldan 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
62	22, 42, 61	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗))
63	1, 3, 5, 6, 62	climfveq 38736	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067

This theorem is referenced by:  fnlimfvre  38741