Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeq 38732
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeq.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeq.f (𝜑𝐹𝑉)
climeldmeq.g (𝜑𝐺𝑊)
climeldmeq.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeq.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climeldmeq (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeq
StepHypRef Expression
1 climeldmeq.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑊)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
3 fvex 6113 . . . . 5 ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
5 climdm 14133 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
76biimpa 500 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
8 climeldmeq.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 climeldmeq.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑉)
10 climeldmeq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 climeldmeq.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
128, 9, 1, 10, 11climeq 14146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
147, 13mpbid 221 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
15 breldmg 5252 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V ∧ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
162, 4, 14, 15syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
1716ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
189adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
19 fvex 6113 . . . . 5 ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V)
21 climdm 14133 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2221biimpi 205 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2411eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
258, 1, 9, 10, 24climeq 14146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2723, 26mpbid 221 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
28 breldmg 5252 . . . 4 ((𝐹𝑉 ∧ ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2918, 20, 27, 28syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3029ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
3117, 30impbid 201 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cfv 5804  cz 11254  cuz 11563  cli 14063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067
This theorem is referenced by:  climeldmeqmpt  38735  climfveq  38736
  Copyright terms: Public domain W3C validator