MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcncf 22511
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
climcncf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcncf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
climcncf.5 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
climcncf.6 (𝜑𝐺𝐷)
climcncf.7 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
climcncf (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))

Proof of Theorem climcncf
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcncf.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcncf.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcncf.7 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
4 climcncf.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 22504 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
8 cncfrss2 22503 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
109sselda 3568 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117, 10syldan 486 . 2 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12 climcncf.6 . 2 (𝜑𝐺𝐷)
13 climcncf.5 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
14 fvex 6113 . . . . 5 (ℤ𝑀) ∈ V
151, 14eqeltri 2684 . . . 4 𝑍 ∈ V
16 fex 6394 . . . 4 ((𝐺:𝑍𝐴𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
1713, 15, 16sylancl 693 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
18 coexg 7010 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
194, 17, 18syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
20 cncfi 22505 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
21203expia 1259 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
224, 3, 21syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
2322imp 444 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
2413ffvelrnda 6267 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐴)
25 fvco3 6185 . . 3 ((𝐺:𝑍𝐴𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
2613, 25sylan 487 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
271, 2, 3, 11, 12, 19, 23, 24, 26climcn1 14170 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813   < clt 9953  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  abscabs 13822  cli 14063  cnccncf 22487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-z 11255  df-uz 11564  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-abs 13824  df-clim 14067  df-cncf 22489
This theorem is referenced by:  leibpi  24469  lgamcvg2  24581  gamcvg  24582  iprodefisum  30880  climexp  38672  fprodsubrecnncnvlem  38794  fprodaddrecnncnvlem  38796  stirlinglem14  38980
  Copyright terms: Public domain W3C validator