MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbcl 16937
Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 clatglbcl.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatlem 16934 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
54simprd 478 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  Basecbs 15695  lubclub 16765  glbcglb 16766  CLatccla 16930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-lub 16797  df-glb 16798  df-clat 16931
This theorem is referenced by:  clatleglb  16949  clatglbss  16950  clatp0cl  29002  glbconN  33681  pmapglbx  34073  diaglbN  35362  diaintclN  35365  dibglbN  35473  dibintclN  35474  dihglblem2N  35601  dihglblem3N  35602  dihglblem4  35604  dihglbcpreN  35607  dihglblem6  35647  dihintcl  35651  dochval2  35659  dochcl  35660  dochvalr  35664  dochss  35672
  Copyright terms: Public domain W3C validator