HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chocunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chocunii 27544
Description: Lemma for uniqueness part of Projection Theorem. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (uniqueness part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chocuni.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
chocunii (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem chocunii
StepHypRef Expression
1 chocuni.1 . . . . 5 𝐻C
21chshii 27468 . . . 4 𝐻S
32a1i 11 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐻S )
4 shocsh 27527 . . . 4 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
52, 4mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (⊥‘𝐻) ∈ S )
6 ocin 27539 . . . 4 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
72, 6mp1i 13 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
8 simplll 794 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐴𝐻)
9 simpllr 795 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
10 simplrl 796 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐶𝐻)
11 simplrr 797 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))
12 eqtr2 2630 . . . 4 ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
1312adantl 481 . . 3 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
143, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13shuni 27543 . 2 ((((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) ∧ (𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
1514ex 449 1 (((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐶𝐻𝐷 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝑅 = (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑅 = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cin 3539  cfv 5804  (class class class)co 6549   + cva 27161   S csh 27169   C cch 27170  cort 27171  0c0h 27176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-hvsub 27212  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494
This theorem is referenced by:  pjcompi  27915
  Copyright terms: Public domain W3C validator