Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkid1 35228
Description: Lemma for cdlemkid 35242. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
21oveq1i 6559 . 2 (𝑍 (𝑅𝑏)) = (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏))
3 simp1l 1078 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp1 1054 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp3rl 1127 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏𝑇)
6 simp3rr 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 34478 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
14 simp3ll 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐴)
15 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
167, 15, 8hlatjcl 33671 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
173, 14, 13, 16syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
18 hllat 33668 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
193, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ Lat)
20 simp22 1088 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑁𝑇)
217, 8atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2214, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐵)
237, 9, 10ltrncl 34429 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐵) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
244, 20, 22, 23syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
25 simp21 1087 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
269, 10ltrncnv 34450 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
274, 25, 26syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
289, 10ltrnco 35025 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
294, 5, 27, 28syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
307, 9, 10, 11trlcl 34469 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑏𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
314, 29, 30syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
327, 15latjcl 16874 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
3319, 24, 31, 32syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
34 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3534, 15, 8hlatlej2 33680 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
363, 14, 13, 35syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
37 cdlemk5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
387, 34, 15, 37, 8atmod2i1 34165 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
393, 13, 17, 33, 36, 38syl131anc 1331 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
407, 8atbase 33594 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
4113, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
427, 9, 10, 11trlcl 34469 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
434, 20, 42syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
447, 15latj32 16920 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
4519, 22, 41, 43, 44syl13anc 1320 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
46 simp3l 1082 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4734, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 34473 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
484, 20, 46, 47syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
4948oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
507, 15latjass 16918 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5119, 24, 43, 41, 50syl13anc 1320 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5245, 49, 513eqtrd 2648 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
537, 15latjass 16918 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
5419, 24, 31, 41, 53syl13anc 1320 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
557, 15latjcom 16882 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
5619, 43, 41, 55syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
579, 10, 11trlcnv 34470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
584, 25, 57syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
59 simp23 1089 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
6058, 59eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
6256, 61eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
6315, 9, 10, 11trljco 35046 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
644, 5, 27, 63syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
657, 15latjcom 16882 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6619, 41, 31, 65syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6762, 64, 663eqtr2d 2650 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6867oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
6954, 68eqtr4d 2647 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
7052, 69eqtr4d 2647 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)))
7170oveq2d 6565 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
727, 15, 37latabs2 16911 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7319, 17, 43, 72syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7439, 71, 733eqtr2d 2650 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
752, 74syl5eq 2656 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583   I cid 4948  ccnv 5037  cres 5040  ccom 5042  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  35230
  Copyright terms: Public domain W3C validator