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Theorem cdlemh 35123
Description: Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemh.l = (le‘𝐾)
cdlemh.j = (join‘𝐾)
cdlemh.m = (meet‘𝐾)
cdlemh.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemh.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemh ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))

Proof of Theorem cdlemh
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇))
2 simp21l 1171 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
3 simp22l 1173 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
4 simp23 1089 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)))
5 simp33 1092 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
6 cdlemh.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemh.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 cdlemh.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdlemh.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
10 cdlemh.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemh.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemh.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemh.s . . . . . 6 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemh1 35121 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
161, 2, 3, 4, 5, 15syl122anc 1327 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
17 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑆 = (0.‘𝐾) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
18 simp11l 1165 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
19 hlol 33666 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ OL)
21 simp11r 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑊𝐻)
2218, 21jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simp13 1086 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
24 simp12 1085 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
2511, 12ltrncnv 34450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
2622, 24, 25syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
2723, 26jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝑇𝐹𝑇))
285necomd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
2911, 12, 13trlcnv 34470 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3022, 24, 29syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3128, 30neeqtrrd 2856 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
3210, 11, 12, 13trlcoat 35029 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
3322, 27, 31, 32syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
346, 10atbase 33594 . . . . . . . . . 10 ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
36 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
376, 8, 36olj02 33531 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
3820, 35, 37syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
3917, 38sylan9eqr 2666 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑆 = (0.‘𝐾)) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
4011, 12ltrnco 35025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4122, 23, 26, 40syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
427, 11, 12, 13trlle 34489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊)
4322, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊)
44 simp22r 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ¬ 𝑄 𝑊)
45 nbrne2 4603 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ≠ 𝑄)
4645necomd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → 𝑄 ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹)))
4743, 44, 46syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄 ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹)))
48 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
498, 10, 48llni2 33816 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ (LLines‘𝐾))
5018, 3, 33, 47, 49syl31anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ (LLines‘𝐾))
5110, 48llnneat 33818 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ (LLines‘𝐾)) → ¬ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐴)
5218, 50, 51syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ¬ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐴)
53 nelne2 2879 . . . . . . . . 9 (((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐴) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5433, 52, 53syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5554adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑆 = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5639, 55eqnetrd 2849 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑆 = (0.‘𝐾)) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5756ex 449 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 = (0.‘𝐾) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5857necon2d 2805 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) → 𝑆 ≠ (0.‘𝐾)))
5916, 58mpd 15 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑆 ≠ (0.‘𝐾))
60 simp32 1091 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
616, 10, 11, 12, 13trlnidat 34478 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
6222, 23, 60, 61syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
637, 8, 10hlatlej2 33680 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝑅𝐺)))
6418, 2, 62, 63syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) (𝑃 (𝑅𝐺)))
65 simp22 1088 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
66 simp31 1090 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
676, 11, 12ltrncnvnid 34431 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6822, 24, 66, 67syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
696, 11, 12, 13trlcone 35034 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹)))
7069necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ≠ (𝑅𝐺))
7122, 23, 26, 31, 68, 70syl122anc 1327 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ≠ (𝑅𝐺))
727, 11, 12, 13trlle 34489 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
7322, 23, 72syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
747, 8, 10, 11lhp2atnle 34337 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊) ∧ ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊)) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
7522, 65, 71, 33, 43, 62, 73, 74syl322anc 1346 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
76 nbrne1 4602 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐺) (𝑃 (𝑅𝐺)) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
7764, 75, 76syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
788, 9, 36, 102atmat0 33830 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ≠ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (0.‘𝐾)))
7918, 2, 62, 3, 33, 77, 78syl33anc 1333 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (0.‘𝐾)))
8014eleq1i 2679 . . . . . . 7 (𝑆𝐴 ↔ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴)
8114eqeq1i 2615 . . . . . . 7 (𝑆 = (0.‘𝐾) ↔ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (0.‘𝐾))
8280, 81orbi12i 542 . . . . . 6 ((𝑆𝐴𝑆 = (0.‘𝐾)) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (0.‘𝐾)))
8379, 82sylibr 223 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆𝐴𝑆 = (0.‘𝐾)))
8483ord 391 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (¬ 𝑆𝐴𝑆 = (0.‘𝐾)))
8584necon1ad 2799 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑆𝐴))
8659, 85mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑆𝐴)
87 simp21 1087 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8887, 65jca 553 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
896, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36cdlemh2 35122 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 𝑊) = (0.‘𝐾))
9088, 89syld3an2 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 𝑊) = (0.‘𝐾))
917, 9, 36, 10, 11lhpmatb 34335 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐴) → (¬ 𝑆 𝑊 ↔ (𝑆 𝑊) = (0.‘𝐾)))
9218, 21, 86, 91syl21anc 1317 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (¬ 𝑆 𝑊 ↔ (𝑆 𝑊) = (0.‘𝐾)))
9390, 92mpbird 246 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ¬ 𝑆 𝑊)
9486, 93jca 553 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583   I cid 4948  ccnv 5037  cres 5040  ccom 5042  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  0.cp0 16860  OLcol 33479  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464
This theorem is referenced by:  cdlemi  35126  cdlemki  35147  cdlemksv2  35153  cdlemk16a  35162
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